Принцип Архимеда и его следствие о плотности рациональных чисел.

$\forall{x \in \mathbb{R}}~~ \exists{n \in \mathbb{N}}~~ n > x$ ($\mathbb{N}$ - не ограничено)

От противного: $\mathbb{N}$ - ограничено сверху $\Rightarrow$ по теореме о существовании точной верхней грани $\exists{M = sup \mathbb{N}}$. По определению $\exists{n \in \mathbb{N}}~~ n > M-1 \Rightarrow n+1 > M$. Т.к. $n+1 \in \mathbb{N}$, приходим к противоречию. $\square$

$\forall{\epsilon > 0}~~ \exists{n \in \mathbb{N}}~~ \dfrac{1}{n} < \epsilon$

$\mathbb{Q}$ - всюду плотно, то есть: $\forall{x_{1}<x_{2}}~~ \exists{\dfrac{m}{n}}~~ x_{1} < \dfrac{m}{n} < x_{2}$

$x_{2} - x_{1} > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n_{0}}< x_{2} - x_{1}$ Пусть $A = \left\{ \dfrac{m}{n_{0}} | m \in \mathbb{Z}, \dfrac{m}{n_{0}} < x_{2} \right\}$, тогда $supA = maxA = \dfrac{m_{0}}{n_{0}}$. Докажем, что $\dfrac{m_{0}}{n_{0}}> x_{1}$ . От противного: $\dfrac{m_{0}}{n_{0}} \leq x_{1} \Rightarrow \dfrac{m_{0}+1}{n_{0}} = \dfrac{m_0}{n_{0}} + \dfrac{1}{n_{0}} < x_{1} + (x_{2}-x_{1}) = x_{2} \Rightarrow \dfrac{m_{0}}{n_{0}}$ - не наибольшее в $A$, противоречие $\square$